Профессиональный калькулятор накоплений с моделированием Монте-Карло. В результатах расчётов получите распределение вероятных итогов по портфелю, оценку рисков, эффект ребалансировки, влияние комиссий и налогов. Приведены все нужные формулы для понимания методов.
Что вводится
- Начальная сумма вклада \(P_0\).
- Ежемесячное пополнение \(m\).
- Горизонт моделирования в месяцах \(N\).
- Состав портфеля — набор активов с ожидаемой годовой доходностью \( \mu_i \) и волатильностью \( \sigma_i \), долями \( w_i \).
- Правило ребалансировки — периодичность и способ (процентное или целевое распределение).
- Комиссии — процентные и фиксированные сборы при ребалансировке или сделках.
- Налог на доход, при необходимости.
- Параметры моделирования Monte-Carlo: число симуляций S, случайные сценарии.
Что получается на выходе
- Распределение итоговых значений портфеля \(S_N\). Основные квантильные показатели 10, 50, 90 процентов.
- Среднее значение итоговой суммы и стандартное отклонение.
- Вероятность не достигнуть целевой суммы \(G\): \(P(S_N < G)\).
- Средняя суммарная комиссия и средняя максимальная просадка.
- Графики медианы и доверительных интервалов по времени, таблица годовых итогов.
Обозначения
| Показатель | Обозначение | Смысл |
|---|---|---|
| Начальная сумма | \(P_0\) | Капитал на старте |
| Ежемесячный взнос | \(m\) | Регулярное пополнение |
| Ожидаемая годовая доходность актива i | \( \mu_i \) | Среднее годовое при ожидании |
| Годовая волатильность | \( \sigma_i \) | Стандартное отклонение годовой доходности |
| Доли в портфеле | \( w_i \) | Сумма долей равна 1 |
Модель и формулы
1. Модель динамики доходности GBM
В основе симуляции лежит геометрическое броуновское движение. Для актива i шаг за период \( \Delta t \) (месяц) даёт следующий множитель изменения цены:
$$
S_{t+1}^{(i)} = S_t^{(i)} \cdot \exp\Big(\mu_i \Delta t —
$$
$$
— \frac{1}{2}\sigma_i^2 \Delta t + \sigma_i \sqrt{\Delta t}\; Z\Big),
$$
где \(Z\) — стандартная нормальная случайная величина, а \(\Delta t = 1/12\).
2. Итоговая стоимость портфеля в сценарии
В каждый месяц портфель представляет собой сумму положений по активам.
$$
V_t = \sum_i w_i \, S_t^{(i)}.
$$
После начисления дохода и возможного пополнения выполняется ребалансировка по выбранному правилу. При ребалансировке применяются комиссии.
3. Комиссии при ребалансировке
Пусть суммарный объём торгов при ребалансировке равен \(T\). Комиссия считается как процент плюс фиксированная часть:
$$
\mathrm{Fee} = c_{\mathrm{fixed}} + c_{\mathrm{pct}}\cdot T.
$$
Эта комиссия вычитается из портфеля и уменьшает доли пропорционально.
4. Оценка риска
Для траектории значений \(V_t\) максимальная просадка определяется как
$$
\mathrm{MDD} = \max_t \frac{\max_{0\le s\le t} V_s — V_t}{\max_{0\le s\le t} V_s }.
$$
5. Квантильные показатели и вероятность не достижения цели
После S симуляций получаем массив итоговых сумм \( \{V_N^{(j)}\}_{j=1}^S \).
Квантиль \(q\) находится как упорядоченная статистика:
$$
Q_q = \text{sorted}(V_N)[\lfloor q\cdot S\rfloor].
$$
Вероятность не достижения цели \(G\) вычисляется как доля сценариев с \(V_N < G\):
$$
P(\text{цели}) = \frac{1}{S}\sum_{j=1}^S \mathbf{1}\{V_N^{(j)} < G\}.
$$
Как трактовать результаты
- 10% квантиль — консервативный сценарий. 10 процентов сценариев дают показатель ниже этого значения.
- Медиана 50% — типичный результат. Половина сценариев хуже, половина лучше.
- 90% квантиль — оптимистичный сценарий.
- Среднее может отличаться от медианы при асимметричном распределении.
- Достижимость цели — доля сценариев, где конечная сумма меньше вашей цели.
- Max drawdown — сколько в худшей точке потеря относительно предыдущего максимума.
Пример параметров и интерпретация
Параметры примера
- \(P_0 = 1{,}000{,}000\)
- \(m = 20{,}000\) ежемесячно
- Портфель из трёх активов with weights \(w = [0.5,0.3,0.2]\)
- Ожидаемые годовые доходности \( \mu = [0.08,0.04,0.015]\)
- Волатильности \( \sigma = [0.18,0.08,0.02]\)
- Ребалансировка ежеквартально; комиссии \(c_{\mathrm{pct}}=0.001\) и \(c_{\mathrm{fixed}}=50\)
- Horizon \(N = 120\) месяцев; симуляций \(S = 5000\)
Иллюстративный итог примерно
| Показатель | Значение |
|---|---|
| 10% квантиль | 1 800 000 |
| Медиана (50%) | 2 350 000 |
| 90% квантиль | 3 300 000 |
| Средняя комиссия за период | 12 000 |
| Средняя max drawdown | 18% |
| P(не достичь цели G=2 000 000) | ≈ 0.28 (28%) |
Что влияет сильнее всего
- Ежемесячные взносы. Увеличение \(m\) быстро поднимает медиану итоговой суммы.
- Волатильность. Чем выше \( \sigma \), тем шире распределение итогов и выше риск просадок.
- Ребалансировка. Регулярный ребаланс поддерживает целевое распределение, но генерирует комиссии. Баланс между дисциплиной и затратами важен.
- Комиссии и налоги. Даже небольшие постоянные сборы на длинном горизонте снижают итог значительно.
Практические рекомендации
- Определите цель и горизонт. Для целей до 3 лет риск активов с высокой волатильностью может быть неприемлем.
- Проверяйте чувствительность: меняйте \( \mu, \sigma, m \) и смотрите, как меняется P(не достичь цели).
- Оценивайте ребалансировку с учётом комиссий. Иногда реже ребалансировать выгоднее, чем платить много за частые торговые операции.
- Используйте модель как ориентир, а не как точный прогноз. Монте-Карло учитывает случайность, но не может предсказать кардинальные изменения макроэкономики.
Модель предполагает логнормальные распределения доходностей. Резкие события типа маркет-крашей учтены частично через волатильность, но не моделируются как отдельно стоящие «шоки». Корреляция между активами может менять распределение итогов. При простом подходе корреляция может быть упрощена или опущена. Налог и правила могут отличаться в зависимости от юрисдикции. Для России используйте положения НК РФ по НДФЛ при расчёте налогов.
Глоссарий
- Медиана — значение, которое делит распределение пополам.
- Квантиль 10% — 10% сценариев дают результат ниже этого уровня.
- Max drawdown — наибольшая относительная потеря от локального пика до минимума.
- VaR — Value at Risk, значение убытка, превосходящее только в заданной доле случаев.
Пример для проверки вручную
Для простого портфеля из одного актива с месячной капитализацией можно сверить модель с аналитической формулой ожидаемой стоимости:
$$
\mathbb{E}[S_N] \approx P_0 e^{\mu N/12} + m\frac{e^{\mu N/12}-1}{e^{\mu/12}-1}.
$$
Это подходит для грубой проверки, но монте-карло даёт распределение, не только среднее.
✍ Примечание: калькулятор предназначен для оценки и планирования. Он использует стохастические сценарии и приближения. Для принятия финансовых решений используйте результаты совместно с консультацией специалиста и официальными документами банка.
Справочная литература и источники
- H. Markowitz. «Portfolio Selection». The Journal of Finance, 1952.
- P. Glasserman. «Monte Carlo Methods in Financial Engineering». Springer, 2004.
- J. Hull. «Risk Management and Financial Institutions». Wiley, актуальные издания.
- P. Jorion. «Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk». McGraw-Hill.
- Модельные и нормативные материалы Банка России и Агентства по страхованию вкладов по вопросам инвестирования и страхования вкладов.
- Налоговый кодекс РФ, глава 23 — правила налогообложения доходов физических лиц.
